வரிசைகளுடன் பெருக்குதல்

இங்கு வட்ட வடிவ பொருட்கள், பல குழுக்களாக அமைந்துள்ளது. ஒவ்வொரு குழுவிலும்,எத்தனை பந்துகள் உள்ளது என்று பார்ப்போம். நம்மிடம், 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 பந்துகள் உள்ளது. நாம் எவ்வாறு 12 பந்துகளை வெவ்வேறு குழுக்களாக பிரிக்க முடியும் என்று பார்க்கலாம். எடுத்து காட்டாக, 12 பந்துகளை, முதல் குழுவில் 3, இரண்டாம் குழுவில் 3, முன்றாம் குழுவில் 3, நான்காவது குழுவில் 3 என, 3 பந்துகளை கொண்ட, 4 குழுக்களாக பிரிக்கலாம். இவற்றை, எவ்வாறு எழுதலாம் என்றால் 12 என்பதை, 3 பந்துகள் கொண்ட, 4 குழுக்களாக பிரிக்கலாம். அல்லது, 12 என்பது, 4 முறை 3ற்கு இணையாகும். என்னிடம், 1 2 3 4 குழுக்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு குழுவிலும், 3 பொட்டுகளை கொண்டு, மொத்தம், 12 வட்ட வடிவ பொருட்கள் உள்ளன. இந்த அமைப்பை வேறு முறையில் காண வேண்டும் என்றால், 4 பந்துகள் கொண்ட, 3 குழுக்களாக பிரிக்கலாம். அதாவது, முதல் குழுவில் 4, இரண்டாவது குழுவில் 4, முன்றாம் குழுவில் 4, இவ்வாறாக, 12ஐ, 4 பந்துகள் கொண்ட, 3 குழுக்களாக பிரிக்கலாம். ஆக 12ஐ, 3 முறை 4 என்றும் சொல்லலாம். எனவே, 12 பந்துகளை, 3 பந்துகள் கொண்ட, 4 குழுக்களாகவோ, அல்லது, 4 பந்துகள் கொண்ட, 3 குழுக்களாகவோ பிரிக்கலாம். நாம் இதோடு நின்றுவிட வேண்டியது இல்லை, நாம் 12 என்ற மதிப்பை அடைய, 6 பந்துகள் கொண்ட இரு குழுக்களாகவும் காணலாம். இதனை முதல் குழுவில் 6 பொருட்களாகவும், இரண்டாவது குழுவில் 6 பொருடகளையும் கொண்டு, 2 முறை 6 என்பதை, 12என காணலாம். சரி, இரண்டு குழுக்களை கொண்ட, 6 பொருட்களாக காண முடியுமா ? அதை நாம் வரைந்து பார்க்கலாம். 2 பொருட்கள் கொண்ட, 6 குழுக்கள். இங்கே, முதல் குழுவில் 2, நாம் இதை ஊதா நிறத்தில் வரைத்து கொள்கிறேன். இங்கு, முதல் குழுவில் 2, இரண்டாவது குழுவில் 2, முன்றாம் குழுவிலும் 2, நான்காவது குழுவில் 2, ஐந்தாம் குழுவில் 2, கடைசியாக ஆறாவது குழுவிலும் 2 உள்ளது. இவ்வாறாக, வெவ்வேறு முறையில் குழுக்களை உபயோகித்து, 12 என்ற மதிப்பை அடையலாம். 6 முறை 2 அல்லது, 6 குழுக்களாக 2ஐ கொண்டதன் மதிப்பு, 12 ஆகும். நாம் இங்கும் நிறுத்த வேண்டியது இல்லை.. நாம் 12 பொருட்களை, ஒரு குழுவாக பயன்படுத்தி, 12ஐ அடையும் வழியையும் காண்போம். இங்கு உள்ள 12 பொருட்களையும், ஒரு குழுவாக பயன்படுத்தும்போது , அல்லது, 1ஐ, 12ஆல் பெருக்கினால், விடை 12 வரும். இவ்வாறாக, 12 பொருட்கள், ஒரு குழுவாக அமைந்துள்ளது. நாம் வேறு முறையில் காண, ஒரு பொருள் கொண்ட, 12 குழுக்களாக வரைந்து காண்பிக்கிறேன். இங்கு ஒரு குழுவாக ஒரு பொருள், இரண்டாம் குழுவாக ஒரு பொருள், அதே போல, 3 4 5 6 7 8 9 10 11 கடைசியாக, 12 குழுக்களாக, 1 உள்ளது. இவ்வாறாக, 12 குழுக்களாக, 1 பொருள் அமைந்தாலும், நமக்கு கிடைக்கும் விடை, 12 ஆகும்.